Trabajo 5.

Trabajo 5.

Teorema de Tales. Procedimiento 1.

Por medio del teorema de tales podemos calcular la altura de un objeto al cual no podemos acceder fácilmente, esto se hace a partir de la longitud de la sombra proyectada del objeto grande comparada con la sombra y la altura de un objeto pequeño que sí podemos medir.

Ejemplo.

Un árbol proyecta una sombra de 24 metros, en ese mismo momento una persona  que está cerca de este árbol, proyecta una sombra de 6 metros y tiene una altura de 1.5 metros. ¿Cuál es la altura del árbol?

Cómo se resuelve.

Primero se ordenan los datos en forma de fracción, la sombra del objeto grande con su altura y la sombra del objeto pequeño con su altura. Así.

Quedarían como numeradores las alturas del edificio y de la persona.

Quedan como denominadores las sombras que proyectan el árbol y la persona.

Posteriormente se multiplica cruzado, en este caso es 24 por 1.5 y el resultado será dividido entre 6.

Nuestro resultado es 6m, que corresponde a la altura del árbol.

Para resolver cualquier problema se utiliza este método. Se debe considerar que si utilizamos la magnitud de metros en un dato, se deben utilizar para todos los demás, de lo contrario el resultado será erróneo.





Teorema de Tales. Procedimiento 2.

Podemos aplicar el teorema de tales utilizando el reflejo de los objetos que deseamos medir y la distancia a la que se encuentra cada cuerpo como lo muestra la siguiente imagen.

En este caso el procedimiento es el mismo, las alturas de los objetos quedan como numeradores y las respectivas distancias como denominadores.

Por lo tanto la altura del árbol es 5.4 metros.









Actividad. Resuelve los siguientes problemas aplicando el teorema de Tales. A cada problema realiza el dibujo para representarlo (procedimiento 1).


1. Encuentra la altura de una lámpara tomando en consideración que la altura de una persona es de 1.8 metros y tiene una sombra de 1.2 metros. Si la lámpara genera una sombra de 3 metros ¿cuál es su altura?

2. Una torre de 86 metros de alto proyecta una sombra de 129 metros de largo, en ese momento una persona de 186 centímetros de altura está parada cerca de esta torre ¿cuánto mide la sombra de ésta persona?

3. Un árbol proyecta una sombra de 24 metros, en ese mismo momento una persona  que está cerca de este árbol, proyecta una sombra de 6 metros y tiene una altura de 1.5 metros. ¿Cuál es la altura del árbol?







Actividad. Para cada una de las imágenes inventa un texto y calcula la altura de los objetos grandes aplicando el teorema de Tales (procedimiento 2).

Trabajo 4.

Trabajo 4.


Tema. Teorema de Pitágoras.

Este teorema se utiliza para calcular la longitud de uno de los lados de un triángulo rectángulo, sólo se puede utilizar en este tipo de triángulos.

Sus lados se representan con letras:

La letra a corresponde al lado más pequeño.

La letra b al lado mediano.

La letra c al lado más largo.

La fórmula qué se utiliza dependerá del lado solicitado.

Los pasos para obtener alguno de sus lados son:

1. Se anota la fórmula de acuerdo al lado faltante.

2. Se sustituyen los valores en la fórmula.

3. Se resuelven las operaciones respetando la jerarquía, el resultado corresponderá a la medida del lado faltante.



Cálculo de c.

Ejemplo.

Cuál será la medida del lado C en el siguiente caso.

La fórmula que se utiliza en este caso es:

c²=a²+b²

Sustituimos los datos en la fórmula:

c²=3²+4²

Resolvemos respetando la jerarquía de operaciones:

c²=9+16

c²=25

En el siguiente paso el cuadrado de la letra c pasa de lado contrario como una raíz cuadrada quedando así:


c=√25

c=5.




Cálculo de b.

Los pasos son:

1. Se anota la fórmula de acuerdo al lado faltante.

2. Se sustituyen los valores en la fórmula.

3. Se resuelven las operaciones respetando la jerarquía, el resultado corresponderá a la medida del lado faltante.



Cálculo de b.

Ejemplo.

Cuál será la medida del lado B en el siguiente caso.

La fórmula que se utiliza en este caso es:

b²=c²-a²

Sustituimos los datos en la fórmula:

b²=5²-3²

Resolvemos respetando la jerarquía de operaciones:

b²=25 - 9

b²=16

En el siguiente paso el cuadrado de la letra b pasa de lado contrario como una raíz cuadrada quedando así:


b=√16

b=4




Cálculo de a.

Los pasos son:

1. Se anota la fórmula de acuerdo al lado faltante.

2. Se sustituyen los valores en la fórmula.

3. Se resuelven las operaciones respetando la jerarquía, el resultado corresponderá a la medida del lado faltante.



Cálculo de a. 

Ejemplo.

Cuál será la medida del lado A en el siguiente caso.

La fórmula que se utiliza en este caso es:

a²=c²-b²

Sustituimos los datos en la fórmula:

a²=5²-4²

Resolvemos respetando la jerarquía de operaciones:

a²=25 - 16

a²=9

En el siguiente paso el cuadrado de la letra b pasa de lado contrario como una raíz cuadrada quedando así:


a=√9

a=3







Actividad. Obtén el lado faltante para cada caso, anota tus operaciones.

Trabajo 3.

Trabajo 3.


Tema. Criterios de semejanza en triángulos.

1. Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales.

2. Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales.

3. Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos igual.

Actividad. Construye 2 triángulos y su semejante para cada tipo de criterio de semejanza.

Trabajo 2.

Trabajo 2.



Tema. Criterios de congruencia en triángulos.

La congruencia se refiere a qué dos figuras entre sí deben tener las mismas medidas y por consecuencia los mismos ángulos.

Para que dos triángulos sean congruentes se deben considerar los siguientes criterios (o reglas):

Primer criterio de congruencia: LLL
Dos triángulos son congruentes si sus tres lados son respectivamente iguales.
a ≡ a’
b ≡ b’
c ≡ c’
→ triáng ABC ≡ triáng A’B'C’

Segundo criterio de congruencia: LAL
Dos triángulos son congruentes si son respectivamente iguales dos de sus lados y el ángulo comprendido entre ellos.
b ≡ b’
c ≡ c’
α ≡ α’
→ triáng ABC ≡ triáng A’B'C’

Tercer criterio de congruencia: ALA
Dos triángulos son congruentes si tienen un lado congruente y los ángulos con vértice en los extremos de dicho lado también congruentes. A estos ángulos se los llama adyacentes al lado.
b ≡ b’
α ≡ α’
β ≡ β’
→ triáng ABC ≡ triáng A’B'C’

Cuarto criterio de congruencia: LLA

Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados respectivamente congruentes y los ángulos opuestos al mayor de los lados también son congruentes.
a ≡ a’
b ≡ b’
β ≡ β’
→ triáng ABC ≡ triáng A’B'C’

Actividad. Construye:

2 triángulos usando el criterio LLL.
2 triángulos usando el criterio LAL.
2 triángulos usando el criterio ALA.
2 triángulos usando el criterio LLA.

Todos con medidas diferentes.

Trabajo 1.

Trabajo 1.


Tema. Ecuación de segundo grado.

Se llama ecuación de segundo grado Por qué es exponente más alto es 2.

La fórmula que se utiliza para resolver este tipo de ecuación es:

Como en cualquier fórmula  cada letra  tiene un valor  para identificarlo se considera lo siguiente:

1. El valor de la letra a corresponde al número que acompaña a la x².
2. El valor de la letra b corresponde al número que acompaña a la x sinexponente.
3. El valor de la letra c corresponde al número que no tiene x.

Los pasos para resolver esta ecuación son:

1. Identificar cuánto vale a, b, c.

2. Sustituir las letras por los valores identificados cuidando que el signo sea el correcto.

Si se ordena de forma correcta lo único que queda hacer es resolver las operaciones.

3. Al llegar a este paso se separa la operación, por una  se utilizará el signo positivo y por otra el signo negativo, teniendo entonces 2 resultados.

4. Se realizará la comprobación para ello utilizaremos el resultado que sea más fácil de manejar que en este caso es 2.

Sólo se debe anotar el número 2 dentro de un paréntesis en lugar de las letras x

5. Al llegar a la igualdad 0 nuestros resultados y procedimientos son correctos.

Actividad. Resuelve las siguientes ecuaciones utilizando la fórmula general. Obtén los valores de x, también realiza la comprobación.

3x²-5x+2=0

4x²+3x-22=0

5x²-7x-90=0

x²+11x+24=0

x²-16x+63=0